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經典再現12——一道劍橋大學幾何題的解法

題:如圖1,平行四邊形ABCD中,E,F分別在AD,DC上,且DE=DF,AE=2,CF=3,∠A=∠EBF=60°,求EF的長。

分析:根據已知條件,在等腰ΔDEF中,∠D=120°,所以欲求EF的長,只需要先求DE的長即可。因此,設DE=DF=a,則平行四邊形的邊AB=DC=a+3,AD=BC=a+2。

由∠A=∠EBF=60°,聯想到“一線三等角”,故延長AB到G,使BG=BC,連線GC並延長交BF延長線於H,交AD延長線於O(如圖2)。則

ΔBCG和ΔOAG都是等邊三角形,所以OC=DC=a+3,CG=BC=a+2。

設OH=x,則HC=x+a+3,HG=x+a+3+a+2=x+2a+5。

在ΔHBG與ΔBEA中,

因為∠EBG=∠A+∠AEB,即∠EBF+∠HBG=∠A+∠AEB,

又因為∠EBF=∠A=60°,所以∠HBG=∠AEB,

又∠G=∠A=60°,

所以ΔHBG∽ΔBEA,

所以HG/AB=BG/EA,

所以(x+2a+5)/(a+3)=(a+2)/2…………①

在ΔHFC與ΔHBG中,

因為FC∥BG,

所以FC/BG=HC/HG,

所以3/(a+2)=(x+a+3)/(x+2a+5),

所以1-3/(a+2)=1-(x+a+3)/(x+2a+5)-1,

即(a-1)/(a+2)=(a+2)/(x+2a+5),

也即(a+2)/(x+2a+5)= (a-1)/(a+2)………②

① ×②,消去x,得:

(a+2)/(a+3)=(a-1)/2,

去分母,得2(a+2)=(a-1)(a+3),

化簡、整理,得:a^2=7,

所以a=√7,

所以EF=√3a=√21.

Reference:Man's Daily

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